如何通俗的解释傅立叶级才能让一个三年级的小学生听得懂?

该怎样解释傅立叶级才能让一个三年级的小学生听得懂?

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87 thoughts on “如何通俗的解释傅立叶级才能让一个三年级的小学生听得懂?

  1. 三年级的小学生是惹你了,还是怎么了,要这样子对他,虽然我也是这样对待我的8岁表妹的。

    学习傅立叶变换,还是用动图比较靠谱,才更生动形象嘛!那就先上图。

    有点求知欲的孩子,看到这个总比看到一堆问题舒服吧。

    两张动图之后,那我们还是回来说说我们的工科大神器——傅立叶变化。

    插个小故事:既然这里要讲傅立叶变化,那还是要简单说一下傅立叶。

    出生于法国的傅立叶除了是一名浪漫的法国数学家,同时也是一名视角独特的数学家。

    在当时的数学圈子,所有的数学家只对各种纯数学理论进行研究,根本就不注重研究内容的实用性,相当于一心只想着发论文,从不考虑研究内容是否有研究意义。

    独特的傅立叶不像其他科学家那般死抓着纯数学研究,而是致力于将数学应用于实际生产。


    事实上,这种研究理念与当时纯数学研究为主格格不入,幸运的地是傅立叶遇到拿破仑,一个超级热爱科学的皇帝,受到拿破仑器重。

    受到重要的傅立叶没有停下学术研究的脚步,继续着他对数学的探索。

    1811年,傅立叶向科学院提交二次修改过后的文章《热的传播》,该篇文章也为傅立叶获得了科学院大奖。

    傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程 ,并提出了傅立叶变换的基本思想

    也就因为这个基本思想,直接造福工程界、数学界


    甚至在数学界、工程界有这么一句传说:

    有一种运算,把微积分变成加减乘除,它叫傅立叶变换。

    讲了那么多,那傅立叶变化到底怎么解决问题的呢?

    我们先来讲讲傅立叶变换的基本原理是:

    简单来说,就是多个正余弦波叠加(蓝色)可以用来近似任何一个原始的周期函数(红色)

    超模君,你讲了这么多,我愣是没听懂。。。

    超模君:。。。

    那我们假象一下,当我们去买菜的时候,各种蔬菜都不一样,但都能买的每种菜转换成“n个1块+m个1毛”的组合(默念,3年级应该懂了吧)。

    此时,那我们把上面图片中末尾处蓝色的竖线就想象成3个1号波+5个2号波的组合等等。

    一下子计算就简单许多了,这时你只要知道加减乘除就可以了。

    也正因为傅立叶变换有趣的简化方式,使得傅立叶变换成为工程和物理领域里最重要的数学公式之一。

  2. 首先纠正一下标题,是「傅立叶级数」,不是「傅立叶级」。

    好,言归正传,傅立叶分解在数学分析、工程、信号处理中,都有广泛且重要的应用,如何让小学生理解傅立叶级数呢?我觉得首先要让小学生对其有直觉上的理解。

    先用积木做比喻。如果有一个任务,是用积木粘成特定的雕塑。一开始的时候,我们只有大块的积木,这个时候,智能构造简单、粗略的结构;而后,我们又被分到了细小的积木,雕塑开始有具体的轮廓了;最后,我们分到了沙粒,我们可以雕刻极为细微的结构了。傅立叶分解也是类似的,将一个函数分解成「不同大小的细节」。

    比如下面这个:

    大尺度的细节,就是一个简单的曲线,而没有局部细小的凹凸。而小尺度的细节,则是各个局部细小的凹凸。傅立叶展开,就是要将一个函数分解成这样的不同部分。

    但它之所以有用、重要,是在于傅立叶级数可以拟合所有有界函数,即函数值不会出现无穷大这样的点。这是因为,用数学的语言来说,叫做「傅立叶级数是这些函数的正交基」,用形象的语言来说,傅立叶级数是一个「万能拼图」,只要调整不同级数的比例,就可以拟合各类函数。

    对于特定的函数,可以进行傅立叶展开。如果这个函数看起来就有很多「尖峰」的话,那么直觉上可以知道,它的傅立叶展开中,包含很多「细小」的级数,即频率非常高的部分;相反的,如果看起来非常光滑,平坦,那么就会更多包涵频率低的部分。

  3. 作者:咚懂咚懂咚链接:https://www.zhihu.com/question/22864189/answer/40772083来源:知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

    从傅里叶变换到小波变换,并不是一个完全抽象的东西,可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义,如果我们从它的提出时所面对的问题看起,可以整理出非常清晰的思路。

    下面我就按照傅里叶–>短时傅里叶变换–>小波变换的顺序,讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。(反正题主要求的是通俗形象,没说简短,希望不会太长不看。。)

    一、傅里叶变换关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了,默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。(在第三节小波变换的地方我会再形象地讲一下傅里叶变换)

    下面我们主要将傅里叶变换的不足。即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱,那么为什么还要提出小波变换?答案就是方沁园所说的,“对非平稳过程,傅里叶变换有局限性”。看如下一个简单的信号:

    做完FFT(快速傅里叶变换)后,可以在频谱上看到清晰的四条线,信号包含四个频率成分。

    一切没有问题。但是,如果是频率随着时间变化的非平稳信号呢?

    如上图,最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号,它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。做FFT后,我们发现这三个时域上有巨大差异的信号,频谱(幅值谱)却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号,我们从频谱上无法区分它们,因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的,只是出现的先后顺序不同。

    可见,傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分,但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号,可能频谱图一样。

    然而平稳信号大多是人为制造出来的,自然界的大量信号几乎都是非平稳的,所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中,基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。

    上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号,只知道包含哪些频率成分是不够的,我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况,各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。

    二、短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform, STFT)一个简单可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁园同学的描述了,“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程,每个小过程近似平稳,再傅里叶变换,就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。看图:时域上分成一段一段做FFT,不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗!用这样的方法,可以得到一个信号的时频图了:

    ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分,还能看到出现的时间。两排峰是对称的,所以大家只用看一排就行了。

    是不是棒棒的?时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。

    使用STFT存在一个问题,我们应该用多宽的窗函数?窗太宽太窄都有问题:

    窗太窄,窗内的信号太短,会导致频率分析不够精准,频率分辨率差。窗太宽,时域上又不够精细,时间分辨率低。(这里插一句,这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置,我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在,我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。 所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。)

    看看实例效果吧:

    ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”上图对同一个信号(4个频率成分)采用不同宽度的窗做STFT,结果如右图。用窄窗,时频图在时间轴上分辨率很高,几个峰基本成矩形,而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上,窄窗明显不如下边两个宽窗精确。

    所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低,宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号,高频适合小窗口,低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的,在一次STFT中宽度不会变化,所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。

    三、小波变换

    那么你可能会想到,让窗口大小变起来,多做几次STFT不就可以了吗?!没错,小波变换就有着这样的思路。但事实上小波并不是这么做的(关于这一点,方沁园同学的表述“小波变换就是根据算法,加不等长的窗,对每一小部分进行傅里叶变换”就不准确了。小波变换并没有采用窗的思想,更没有做傅里叶变换。)至于为什么不采用可变窗的STFT呢,我认为是因为这样做冗余会太严重,STFT做不到正交化,这也是它的一大缺陷。

    于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗,分段做FFT;而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率,还可以定位到时间了~

    【解释】来我们再回顾一下傅里叶变换吧,没弄清傅里叶变换为什么能得到信号各个频率成分的同学也可以再借我的图理解一下。傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数:

    这个基函数会伸缩、会平移(其实本质并非平移,而是两个正交基的分解)。缩得窄,对应高频;伸得宽,对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度(宽窄)下乘出来的结果,就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是,基函数会在某些尺度下,与信号相乘得到一个很大的值,因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。

    仔细体会可以发现,这一步其实是在计算信号和三角函数的相关性。

    看,这两种尺度能乘出一个大的值(相关度高),所以信号包含较多的这两个频率成分,在频谱上这两个频率会出现两个峰。

    以上,就是粗浅意义上傅里叶变换的原理。

    如前边所说,小波做的改变就在于,将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。

    这就是为什么它叫“小波”,因为是很小的一个波嘛~

    从公式可以看出,不同于傅里叶变换,变量只有频率ω,小波变换有两个变量:尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函数的伸缩,平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率(反比),平移量 τ就对应于时间。

    当伸缩、平移到这么一种重合情况时,也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是,这不仅可以知道信号有这样频率的成分,而且知道它在时域上存在的具体位置。

    而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后,我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。

    看到了吗?有了小波,我们从此再也不害怕非稳定信号啦!从此可以做时频分析啦!

    做傅里叶变换只能得到一个频谱,做小波变换却可以得到一个时频谱! ↑:时域信号

    ↑:傅里叶变换结果

    ——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL” ↑:小波变换结果

    小波还有一些好处,比如,我们知道对于突变信号,傅里叶变换存在吉布斯效应,我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号:然而衰减的小波就不一样了:

    以上,就是小波的意义。

    ———————————————————————————————————–

    以上只是用形象地给大家展示了一下小波的思想,希望能对大家的入门带来一些帮助。毕竟如果对小波一无所知,直接去看那些堆砌公式、照搬论文语言的教材,一定会痛苦不堪。在这里推荐几篇入门读物,都是以感性介绍为主,易懂但并不深入,对大家初步理解小波会很有帮助。文中有的思路和图也选自于其中:1. THE WAVELET TUTORIAL (强烈推荐,点击链接:INDEX TO SERIES OF TUTORIALS TO WAVELET TRANSFORM BY ROBI POLIKAR)2. WAVELETS:SEEING THE FOREST AND THE TREES3. A Really Friendly Guide to Wavelets4. Conceptual wavelets

    但是真正理解透小波变换,这些还差得很远。比如你至少还要知道有一个“尺度函数”的存在,它是构造“小波函数”的关键,并且是它和小波函数一起才构成了小波多分辨率分析,理解了它才有可能利用小波做一些数字信号处理;你还要理解离散小波变换、正交小波变换、二维小波变换、小波包……这些内容国内教材上讲得也很糟糕,大家就一点一点啃吧~

  4. 傅立叶级数是干这个事情的:分析一段数据,看看它是由哪些频率的正弦波组成,每个频率的正弦波的幅值有多大、相位是多少。它的基础是同频识别:正弦波与同频率的正弦波相乘后的累加值是非零值,而与不同频率的正弦波相乘的累加值是0。打个不太严谨的例子,有一伙人,由不同国籍的人组成,用中文、英文、法文…喊话,听见中文有反应的是中国人,听见英文有反应的是英国人……。按这个思路分析是,每个频率要乘两次,一次是正弦,一次是余弦,(这能保住不管相位是什么,总能找到它的正确幅值和相位),如果频率很多,这个计算量很大,后来(1960年代)有人发明了快速算法,适用于数据点数是2的n次方。称之为FFT,即快速傅立叶变换。后来又有人发明了许多算法,数据点数不是2的n次方,也能算的很快。傅立叶级数适用于无限次重复的周期信号,每次分析只取一个整周期长度的波形来分析。潜在的含义是这一段数据是一个周期的,它是无限次重复的。对于非周期信号,概念上有所变化,叫傅立叶积分。但是数字化的快速算法一致,只是相差一个倍数。所以FFT对于周期或者非周期信号都能用。只是要搞清楚概念和那个系数。

  5. 把小孩拉到电脑前,打开播放器播放音乐,播放软件通常有频谱显示。录他的两个声音,一个是低声一个尖叫声,先播放低声让他观察鼓音频谱特性look,低的部分比较强一些(还要先解释下坐标系)。再让他观察尖叫声音的频谱特性。最后总结声音的组成,告诉他所有声音都是由不同的高低组成的,那么什么高低呢?我们把它称做频率,是频率高低。而傅立叶变换就是用来看看声音到底是由哪些不同的高低成分所组成的,相当于一个工具,数学的工具。不仅声音其他所有的有时间能量特性的信号都可以这样分析。具体怎么变换要慢慢学数学,千万别告诉他还得学十年。最关键的是要让他知道学这个有啥用,就为了播放器软件更好看吗?当然不是,你可以用来让电脑分辨出爸爸妈妈声音,还可以让电脑通过声音分辨出你拨出的电话号码,还可以让电脑知道家里的洗衣机是不是快洗完在排水了,还可以用小设备戴身上就知道你在睡觉还是在跑步,还可以发明一个设备让医生知道病人的心脏是不是有毛病。三年级的小孩给他讲微积分不现实,关键的是要引发兴趣。也不是不能讲,关键太累。比如简单告诉他积分大概就是一年你存的钱等于每天存钱之和,微分就是隔天存钱数量的差别。要具体设计场景,从现实到抽象地讲解。数学是一门实用性实验性很强的学问,我们的学校都教错了。

  6. 这我一句话可以概括:大部分的任意形状的函数可以表示成完美的三角函数的(无穷)叠加,(这个其实和勾股定理有联系)话说当年傅里叶也就是这么个意思,虽然他一开始错误地认为所有函数都可以这么做,现在被你们学究搞得这么复杂而完全忽略了本质!

  7. 一、先灌输一个简单的概念:吃一个大包子能吃饱,换作吃许多小笼包也能吃饱,也就是说同样的东西可以用别一种形式来替代。

    二、直接给结论,再讲解规则:表达公式,大科学家说的,不要问为什么,否则1+2=3都会折腾半生;定义是,任意一个波形都可以用不同频率(幅度也不尽相同)正弦波合在一起来表示。

    三、再举个栗子:一个小提琴的声音也可以电子合成器来生成,合成器中就是许多不同音量的正弦振荡频率合在一起而产生的。

  8. 我可以非常通俗的解释微积分,但是要建立在他们已经掌握知识的基础上。比如通过微积分计算不规则图形的面积,用图形而不是公式。找几个数学专业的学生,也不会直接通过公式看到原理,但是公式就是做这个用的,不是给我们背的。通过著名公式E=MC的平方,可以看到三个参数之间的关系。E能量来自物体本身的质量M和运动速度C,质量越大能量就越大,质量不变想提高能量就要增加物体的速度,这和面积等于长乘宽是一个意思。平常人会怎么去理解公式吗?我们以前的老师告诉我们,背下书上的公式,考试时带进去就可以了。有意思吗?

    三年级应该只学了加减乘除,怎么可能理解。拔苗助长似的教育,幼儿园学小学的课,小学学初中的课,初中学高中的课,高中学怎么高考,有意思吗,小学生语文都不会,学什么英语,abcd啊啵呲嘚混在一起,两样都没学好。

  9. 级是什么意思,是搞笑吗,是脑筋急转弯吗,这个小学生可以玩玩。不是说傅立叶级数吧,要不把傅立叶变换,拉普拉斯变换,也让小学生玩玩儿。杨春华先生有一个点子,把这样的变换做成积木玩具,让小学生玩玩儿,说不定就可以发现数学天才,好玩儿吗。

    杨春华先生还有一个点子,把牛顿力学,把牛顿杨春华理论体系,也做成积木玩具,让小学生玩玩,说不定可以发现科学的天才,好玩儿吗

  10. 我觉得不可能让三年小孩听明白,那三年内本人数字傅立叶变换、小波分析、函数分析全挂,现在孩子六年级,刚才试着对他讲fft,自己都快糊涂,直接放弃。妈蛋的,谁提的问题,让人痛苦的回忆!

  11. 为啥要把傅里叶级数解释给3年级的小学生听?是他的学业必须用到了吗?是的话不用简化他也应该听懂,不是的话你不是拔苗助长?浪费精力?

  12. 我的粗俗理解:让小朋友画一个圆,他可以算出周长。然后告诉他你画的圆不规则,实际上是由六等长十二等长十三等长二十四等长二十九等长三十六等长……线组成的,算周长算弧长……

  13. 大学我学过傅里叶,只记得这个名字,啥意思我一概不知!是不是我很喽啊?

  14. 本科大学生都说不清楚的东西,让小学三年级的学生听懂,中国的教育“专家”肯定能够做到。

  15. 我大学都没搞懂傅立叶变换,凭啥要让一个三岁小孩搞懂呢?!

  16. 一年级学个数列三角函数,二年级学导数微分学积分学,三年级学级数,最后弄懂傅里叶级数也就是水到渠成的事情了

  17. 闲得蛋疼,你这么牛,怎么不去教小三学生保角变换?不去教解合流超几何?不带他学SO(3)下的路径积分?

  18. 我自动控制的老师说,所有周期性的函数都可以转化为正余弦函数的叠加,我感觉很神奇,所以很顺利的接受了傅里叶变换。

  19. “不管是什么形状的叶子,都可以用傅立叶这种叶子做模板画出来”,小学一年级的学生应该都听得懂了吧?

  20. 傅里叶变换就是进行时域和频域转换的。简单的说就是踢出时间的影响,找出事物的一些本身属性。

  21. 谢谢您的邀请!

    本人毕业于技工学校,没有接触过这么高深的数学知识,无法回答您的问题。非常抱歉!

  22. 大学的数学才能建立起数学体系,中学的数学教育有革命的需要。

  23. 把小孩叫过来问他你懂不懂傅立叶变换?不懂就没糖吃,他肯定说懂

  24. 大学毕业多年,高中学理科,第一次听说这个概念……现在的孩子教育已经这么超前了吗,才小学三年纪就要学函数了?

  25. 先建立一套神童培养方案,把小孩在从胎教开始用按此方案培养,一直坚持8.5年, 8岁时许就可以正常教育 TA 傅里叶级数 了。

  26. 大学毕业都不懂微积分的路过,别说这些名字都记不住的公式了。。。虽然是理科生。。。

  27. 小编你虾子真是一个二货!给小学三年级的儿童讲付立叶级数。你咋不给你虾子的二大爷讲黎曼猜想呢?你虾子脑壳有包,脑壳里长儿菜了!

  28. 懂不懂?不懂我就打到你懂,,,,,这样他就懂了

  29. 针对你的提问,我有把握让三年级的学生理解对你脑部状态的描述

  30. 就是很多的图线不断的叠加,拼接而成,和积分有异曲同工之妙

  31. 一个盒子里放一个八音盒,可以听出来音乐,放2个也能听出来。。。。。放20个进去,只能听到一种声音:嗡一一

  32. 没有知识储备你不可能给他解释清楚,顶多让他感觉很好玩似的,就好像我以前超痴迷于薛定谔的猫,真正学量子物理后感觉想要掐死那只猫

  33. 刚才在饭店,有几个女人因为皮蛋瘦肉粥里没有看到瘦肉和老板争执了起来。 老板解释说,瘦肉都煮化了。其中一个女的越说越激动,竟然哭了起来。老板惊呆了,边给她纸巾边安慰她,说:“ 一碗粥而已,不至于啦,我再给你们送一个凉菜。” 女人边哭边说: “ 我哭的不是这个,我难过的是,我已经三十几岁了还为一碗粥斤斤计较吵起来,这根本不是我要的人生!我什么时候才能不过这种日子!” 顿时,整个饭店的人听到她的话都陷入了一片死寂。 生活重压之下发出震振聋发聩的呐喊,让所有苟且于生活的人,心头猛然一震。 或许,我们都在过这样的人生: 别人一顿饭消费两三千块钱,我们却要每天挤地铁或公交辛辛苦苦工作一个月才能赚到。 别人全身名牌,动不动就来一场说走就走的境外游,我们却不得不为了讨好领导在酒桌上拼命,在周末的深夜熬夜加班。 别人开豪车,住别墅,身边俊男靓女无数,我们挤公车,住出租屋,愿意和我们交流的只有菜市场的大爷大妈。 没有深夜痛哭过的人,不足以谈人生。也许,我们大多数人都没有过上自己想要的生活,还在蝇营狗苟地向生活摇尾乞怜。 这不是我们想要的人生.可是,我们拼死拼活的干,为什么还是一贫如洗。。。。。。听罢,我也陷入深深的沉思,多么痛的领悟啊,为什么这么辛苦编了这么长的故事,连100个赞都没有。。

  34. 这个恐怕有点难。。。不过用动图的方式表示会比较容易理解。

  35. 你们在说什么?那天我穿了件T恤,印花是薛定谔的猫,一个小学生问我,我给他讲,然后他居然明白了。

  36. 想多了,小学三年级,就是初中三年级可能也理解不了。首先为什么提出傅立叶级数,傅氏变换,有什么作用,相信他们理解不了,其次,没有基本微积分知识怎样推导?

  37. 丫的小学三年级连图表都还看不懂。你丫还提什么傅立叶函数

  38. 用钢琴谈一段乐谱,通过fft就可以分析出你在某个时刻按的哪个琴键。

  39. 想想自己大学时候真牛逼,连这都懂,工作两年后,它认识我,我不认识它

  40. 非常难,几乎不可能,对于三年级的小学生,他们对频域还是没有概念的。

  41. 为什么要让三年级的小学生听懂啊?三年级小学生学这个,你不是在害人吗?

  42. 不懂教育的人才会问这个问题,你咋不让他懂相对论,量子物理恁

  43. 数学是抽象的,如果没有具象的物体或现象加以解释,是很难理解的。我的数学学的还不错,但至今没有完全理解。

  44. 为啥要让小学三年级看得懂,傅里叶同意吗?拉普拉斯愿意吗?

  45. 三年级的小学生(正常人,天才除外)怎么可能听得懂,随你怎么解释。

  46. 你让小学生懂傅里叶变换有个屁用。还通俗。什么事都要普及么?你怎么不说通俗的解释下薛定谔方程?有些就不是通俗的东西。

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